以弹簧为基础理解机械波的能量

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今天讲一个短平快的问题。很多人对机械波的能量感到困惑，为什么处于平衡位置的媒质的质元的弹性势能反而是最大的？为什么质元的动能与势能同步变化？当然，你可能会根据一些特例来帮助理解这些问题。例如，抖动一根水平绳产生横波时，你注意到那些位于平衡的位置，因为两边受到的拉力指向相反方向，所以形变是最厉害的；而处在最高或最低点的那些位置，两边受到的力指向同一方向，虽然具有最大的加速度，但本身的形变却为零。所以势能最大的位置应该在平衡位置。如果用力抖动一根软弹簧形成横波，那么会看到平衡位置处，弹簧形变最明显，而最低和最高点几乎还是原样，如下图所示。至于动能，你也容易想到一个屡试不爽的规律：平衡位置的加速度为零，速度必然最大，所以动能就是最大。如此一来，动能和势能同步达到最大，当然也会同步达到最小，所以它们同步变化的规律就坐实了。但若要较真，机械波的能量的规律到底该怎么得到呢？那你还得用一点数学。下面较详细的给出一个推理分析的过程。考虑一根长为